Question

f(x)=(x-3)(x-4)(x-5),则方程f'(x)=0有几个实根？？求解析

Answer 1

【结论】

方程f'(x)=0存在两个实根。

【证明法】

从函数表达式f(x)=(x-3)(x-4)(x-5)可以得出：

f(3)=f(4)=f(5)=0

根据罗尔定理（微分中值定理之一），若f(a)=f(b)，则在(a,b)内至少有一点ξ(a<ξ<b)，使得 f'(ξ)=0。

因为f(3)=f(4)=0，所以：在（3,4）内至少存在一点x₁(3<x₁<4)，使得：f'(x₁)=0；

因为f(4)=f(5)=0，所以：在（4,5）内至少存在一点x₂(4<x₂<5)，使得：f'(x₂)=0。

所以，方程f'(x)=0至少存在两个实根。

又：f(x)=(x-3)(x-4)(x-5)可写成f(x)=ax³+bx²+cx+d的形式（即三次函数）；

其导数为：f'(x)=3ax²+2bx+c（即二次函数）。

则：f'(x)=3ax²+2bx+c=0为二次方程，二次方程最多存在两个实根。

所以：方程f'(x)=0有且仅有两个实根。

【解析法】

f(x)=(x-3)(x-4)(x-5)=x³-12x²+47x-60

f'(x)=3x²-24x+47

若，f'(x)=0，即：3x²-24x+47=0

根据二次方程判别式：

Δ=b²-4ac=(-24)²-4×3×47=576-564=12>0

可得：方程f'(x)=0存在两个实根。