Question

如何求圆的导数

Answer 1

通常所说的函数是显函数形如y=f(x)
圆，椭圆的方程是隐函数，
隐函数形如f(x,y)=0,其中y不一定能用x表示出来写成显函数y=f(x)
圆，椭圆的方程其实不是真正的y关于x的函数，因为用x表示y时，出现一个x的值对应两个不同的y的值。
例如由圆x^2+y^2=1得,y=√(1-x^2)或y=-√(1-x^2)。
圆x^2+y^2=1可看成由上半圆y=√(1-x^2)与下半圆y=-√(1-x^2)组成。
对圆x^2+y^2=1求导数，可对上半圆y=√(1-x^2)与下半圆y=-√(1-x^2)分别求导数(导数就是曲线上各点的切线斜率)
也可对圆x^2+y^2=1直接求导数，要把y看成x的函数，对x^2+y^2=1两边对x求导数，
(x^2+y^2)=1',
(x^2)'+(y^2)'=0,
2x+2yy'=0.
x+yy'=0
当y=0时，y'不存在(切线斜率不存在)
当y≠0时，y'=-x/y.
对于椭圆x^2a^2+y^2/b^2=1，对x^2a^2+y^2/b^2=1两边对x求导数，
(x^2a^2+y^2/b^2)=1',
(x^2/a^2)'+(y^2/b^2)'=0,
2x/a^2+2yy'/b^2=0.
x/a^2+yy'/b^2=0.
当y=0时，y'不存在(切线斜率不存在)
当y≠0时，y'=-(a^2/b^2)(x/y)