Question

高数函数

设函数f(x)在闭区间［0，a]上连续，在开区间（0，a)可导，且f(a)=0。证明:彐β属于（0，a)，使得f(β)+βf '(β)=0

Answer 1

令F(x)=xf(x).则函数F(x)在［0，a]上连续，在开区间（0，a)可导,且F(0)=F(a)=0,则罗尔定理至少存在一点β属于（0，a)，使得F'(β)=0, 即f(β)+βf '(β)=0.

Answer 2

罗尔中值定理
如果函数f(x)满足以下条件： 　　
①在闭区间[a,b]上连续， 　

　③f(a)=f(b)， 　
　则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得f'(ξ)=0.
【在来看题目】
设 F(X)=Xf(x)
那么 F(0)=0·f(0)=0
F(a)=a·f(a)=0 【f(a)=0】
这样 F(X) 就满足上述条件 F(0)=F(a)
且F(x)在闭区间［0，a]上连续，在开区间（0，a)可导,
【f(x)在闭区间［0，a]上连续，在开区间（0，a)可导,那么乘以初等函数X 也同样是这样】
F(X) 就能运用中值定理 ，存在一个 β属于（0，a)，使得 F'(β)=0
【现在对F(X)求导】
F'(X)=[xf(x)]'=x'f(x)+xf'(x)=f(x)+xf'(x) 将β属于（0，a)，使得 F'(β)=0 代入
既 f(β)+βf'(β)=0