Question

已知a∈R,函数f(x)=a/x+lnx-1,g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数)

已知a∈R，函数f(x)=a/x+lnx-1，g(x)=(lnx-1)e^x+x(其中e为自然对数的底数)
（1）判断函数f(x)在（0，e）上的单调性
（2）是否存在实数x0∈(0，+∞)，使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直？若存在，求出x0的值；若不存在，请说明理由
（3）若实数m，n满足m>0，n>0，求证：n^n.e^m≥m^n.e^n

前面两题都会 第三题怎么做？

Answer 1

解：只回答第三问，第三问要用到前面的结论
用分析法证明
要证明n^n.e^m≥m^n.e^n
只需证明n^n/m^n≥e^n/e^m
即(n/m)^n≥e^(n-m)
两边取自然对数得n. ln(n/m)≥n-m
两边除以n得 ln(n/m)≥1-m/n
令X=n/m>0
即lnx+1/x-1≥0
由前问结论易知lnx+1/x-1在（0,1）上单调递减，在（1，+无穷）上递增
因此在X=1处取最小值，最小值为0
因此lnx+1/x-1≥0在（0，+无穷）上成立
命题得证