Question

x趋向无穷时,求lim e^-x乘以(1+1/x)^(x^2),求方法,谢谢

答案好像是e^1/2还是e^-1/2的样子

Answer 1

具体回答如下：

lime^-x*(1+1/x)^(x^2)

=lim1/e^x*(1+1/x)^(x*x)

=lim1/(1+1/x)^x*(1+1/x)^(x*x)

=lim(1+1/x)^[x*(x-1)]

=lime^(x-1)

=∞

极限的意义：

在区间(a-ε，a+ε)之外至多只有N个（有限个）点；所有其他的点xN+1,xN+2,...（无限个）都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a；而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。

换句话说，如果只知道区间(a-ε，a+ε)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-ε，a+ε)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。

Answer 2

令y=后者，则lny=lne^(-x)+ln(1+1/x)^x^2=-x+x^2*ln(1+1/x)
设t=1/x,lny=[ln(1+t)-t]/t^2,t趋近于0，符合罗必塔法则，分子分母求导并化简得到：
lny=-1/[2(t+1)]=-1/2
所以y=e^(-1/2)，即为所求的极限。

Answer 3

把式子变成In形式,上下同时ln值不变
lne^(-x)+ln(1+1/x)^x^2=e^[-x+x^2*ln(1+1/x)]
设t=1/x,lny=[ln(1+t)-t]/t^2,t趋近于0，符合罗必塔法则，分子分母求导并化简得到：
-1/[2(t+1)]=-1/2
所以=e^(-1/2)，即为所求的极限。
这道题不可以直接使用重要极限，因为当x→∞时lim(1+1/x)^(x^2)与lim[(1+1/x)^x]^2不同。

Answer 4

求极限：x→∞lim [e^(-x)(1+1/x)^(x²)]
解：x→∞lim [e^(-x)(1+1/x)^(x²)]=x→∞lim {[(1+1/x)^x]/e}^x=x→∞lim (e/e)^x=1
关键是要把[(1+1/x)^x²] 写成[(1+1/x)^x]^x.
注意这不同于(1+1/x)^x^x.

Answer 5

答案是1/√e
解：分x→-∞和x→+∞两种情况进行讨论，只有两者均存在且相等才能说x→∞时的极限存在。
方法就是反复用L'Hospital法则。鉴于你手机求助只能输入这么多字，我也只能在这里说这么多了。