Question

帮帮我解答这道圆锥曲线题吧

已知a大于0，过M（a，0）任作一条直线交抛物线y=2px（p大于0）于P，Q两点，若1/MP²+1/MQ²为定值，则a= A.p B.2pC.根号2乘以p D.p/2

Answer 1

设直线PQ的t参数方程为x=a+tcosα，y=tsinα，（α为直线PQ的倾斜角，t为直线上的点到点M的距离。 这么设是为了减少后面的运算量， 这是解决这类问题最简单的方法，最好能掌握）P，Q的坐标分别为：(a+t1cosα，t1sinα)，(a+t2cosα，t2sinα)，MP^2=t1^2*(cosa)^2+t1^2*(sina)^2=t1^2，MQ^2=t2^2*(cosa)^2+t2^2*(sina)^2=t2^2。又P，Q在抛物线：y^2=2px，将x=a+tcosα，y=tsinα代入y^2=2px，得：(tsina)^2=2p*(a+tcosa)，(sina)^2*t^2-2pcosa*t-2pa=0，所以t1+t2=2pcosa/(sina)^2， t1t2=-2pa/(sina)^2，t1^2+t2^2=(t1+t2)^2-2t1t2=4[p^2*(cosa)^2+pa*(sina)^2]/(sina)^4，又 1/MP^2+1/MQ^2=1/t1^2+1/t2^2=(t1^2+t2^2)/(t1t2)^2 =[p^2*(cosa)^2+pa*(sina)^2]/(pa)^2=[p*(cosa)^2+a*(sina)^2]/p*a^2， 为定值，所以 p=a。