Question

两道小学奥数题，求解，最好写出过程

1.有些数可以表示成两个合数乘积与一个合数之和的形式，例如32=4*6+8，45=4*9+9，那么在不具备这种性质的自然数中，最大的一个数是多少？
2。在任意的100个自然数中，是否总可以找出一些数来（可以是一个数），它们的和能被100整除？说明理由。

Answer 1

1.最大的一个数是35.
最小的合数是4，4×4＋4＝20 所以大于等于20的偶数都具备这种性质
大于20的奇数可按除以8的余数分4类考虑，
被8除余1的最小合数是9，于是25＝4×4＋9，33＝4×6＋9…可知所有大于17且被8除余1的奇数都可以。
被8除余3的最小合数是27，于是43＝4×4＋27，51＝4×6＋27…可知所有大于35且被8除余3的奇数都可以。
被8除余5的最小合数是21，于是37＝4×4＋21，45＝4×6＋21…可知所有大于29且被8除余5的奇数都可以。
被8除余7的最小合数是15，于是31＝4×4＋15，39＝4×6＋15…可知所有大于23且被8除余7的奇数都可以。
所有仍可用4×偶数＋奇合数的形式表示
从上面分析可看出比35大奇数都可以表示。

2.否，例如99个99，以及一个98，这些数无论多少个，他们之和都不能被100整除。

Answer 2

1、自然数按被8除的余数分为
8M+8 8M+9 8M+10 8M+11 8M+12 8M+13 8M+14 8M+15
M>=2时，只有8M+11 8M+13 不具备这种性质。
M>=3时，只有8(M-1)+19不具备这种性质。
M>=4时，自然数可写成8(M-2)+27,具备这样的性质。
所以最大自然数为8*2+19=35
2、设100个自然数余数分别为r1，r2.......r100.
{r1},{r1+r2},...{r1+r2+...+r100}
其中必有两组余数相同，
设为{r1+r2+...+rp}和{r1+r2+...+rq}
因此{rp+1+...+rq}的和能被100整除。
所以，总可以找到这样的数

Answer 3

第二题：
可以。如100，能被100整除，99和1，他们的和是100，能被100整除，很多很多

Answer 4

小学奥数题中的有关数字的题目所涉及的知识，无非就是大学里的初等数论，这种教育有何意义？