Question

已知等边三角形的边长为1,P为三角形内任意一点,PA+PB+PC=a,求1.5 〈a〈2?

Answer 1

设P到ABC三边的距离分别为X Y Z 1/2*(X+Y+Z)*1=1/2*1*√3/2 所以X+Y+Z=√3/2 过P做PB'//AC 交AB于B' 过P做PC'//AB 交AC于C' 过P做PE⊥AB,交AB于E,PE=X 过P做PF⊥AC,交AB于F,PF=Y FC'=Y/√3,AC'=PB'=2X/√3 PA=√(Y^2+(Y/√3+2X/√3)^2)=√(4/3*(X^2+XY+Y^2)) 2XY≤X^2+Y^2 3X^2+3Y^2+4XY+2XY≤3X^2+3Y^2+4XY+X^2+Y^2 3(X+Y)^2≤4(X^2+Y^2+XY) PA≥(X+Y) PA+PB+PC≥2(X+Y+Z)=√3>3/2 由于P点在三角形内,X,Y,Z均>0,PA=√(4/3*(X^2+XY+Y^2))