Question

a为实数,当-1小于且等于x小于且等于2,求二次函数y=x2-2ax+1的最大值与最小值

Answer 1

y=f(x)=x^2-2ax+1=(x-a)^2+1-a^2,为开口向上的抛物线,对称轴为x=a
对于-1≤x≤2的定义域,函数的最大值与最小值与a的取值有关
当a≤-1时,f(x)在[-1,2]上为单调递增函数,
∴最小值为f(-1)=1+2a+1=2+2a,最大值为f(2)=4-4a+1=5=4a
当-1≤a≤(-1+2)/2=1/2时,f(x)在[-1,2]上先递减后递增,且f(-1)f(2)
∴最小值为顶点,即f(a)=1-a^2,最大值为f(-1)=2+2a
当a≥2时,f(x)在[-1,2]上为单调递减函数,
∴最小值为f(2)=4a,最大值为f(2)=2+2a