Question

已知数列｛an｝前n项和为Sn,且Sn=n1(a1+an)/2,1：求证｛an｝为等差数列.

Answer 1

证：
第一种方法
Sn+1=(n+1)[a1+a(n+1)]/2
Sn=n(a1+an)/2
Sn-1=(n-1)[a1+a(n-1)]/2
a(n+1)=Sn+1-Sn=(n+1)[a1+a(n+1)]/2-n(a1+an)/2
整理,得
a1=(1-n)a(n+1)+nan (1)
an=Sn-Sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)[a1+a(n-1)]/2
整理,得
a1=(2-n)an+(n-1)a(n-1) (2)
由(1),(2)得
(1-n)a(n+1)+nan=2an-nan+(n-1)a(n-1)
整理,得
(n-1)[a(n+1)+a(n-1)]=2(n-1)an
a(n-1)有意义,n≥2,n-1≥1≠0
同除以n-1
a(n+1)+a(n-1)=2an
a(n+1)-an=an-a(n-1)
为定值,数列是等差数列.
第二种方法,数学归纳法,麻烦但实用.
S1=a1=1*(a1+a1)/2,不管a1取何值,等式恒成立.
S2=a1+a2=2(a1+a2)/2 不管a1,a2取何值,等式恒成立.
S3=a1+a2+a3=3(a1+a3)/2
整理,得
a2=a1/2+a3/2
2a2=a1+a3
a2-a1=a3-a2
设a3-a2=a2-a1=d
假设当n从3到k(k为自然数,且k≥3)时,ak-a(k-1)=a(k-1)-a(k-2)=d均成立,则有ak=a1+(k-1)d
当n=k+1时,
Sk+1=(k+1)[a1+a(k+1)]/2
Sk=k(a1+ak)/2
a(k+1)=Sk+1-Sk=(k+1)[a1+a(k+1)]/2-k(a1+ak)/2
整理,得
(k-1)a(k+1)-kak+a1=0
(k-1)a(k+1)-k[a1+(k-1)d]+a1=0
(k-1)a(k+1)-ka1-k(k-1)d+a1=0
(k-1)[a(k+1)-a1-kd]=0
k为不小于3的自然数,k-1≠0,因此
a(k+1)-a1-kd=0
a(k+1)=a1+kd=a1+(k-1)d+d=ak+d
a(k+1)-ak=d
同样成立.
即对于确定的a1,a2,从a3开始,每一项减前一项的差均为定值a2-a1
{an}是等差数列.