Question

无限个无穷小量之和是无穷小量吗

Answer 1

因为n个1/n相加（无数个无穷小之和）=n*(1/n)=1不是无穷小，所以必须有限个无穷小之和是无穷小。无限个无穷小之和不一定是无穷小。

假设当x趋于x0时，f1(x),f2(x)……fn(x)都趋于0，则由极限的定义可知

对于任意给出的一个正数ε，必zhuan存在一个正数δ，使得|x-x0|<δ时，|fn(x)-0|=|fn(x)|<ε成立（n为正整数）

现在任取一个正数ε，取α=ε/n，则必存在一个正数δ1，使得|x-x0|<δ1时，|f1(x)|<α

同理得到δ2，δ3……δn,取δ=min{δ1,δ2……δn}

则|x-x0|<δ时，必有|fk(x)|<ε（k=1,2,……n）

而|f1(x)+f2(x)+……+fn(x)|<|f1(x)|+|f2(x)|+……+|fn(x)|<α*n=ε

则由ε的任意性可知， lim f1(x)+f2(x)+……+fn(x)=0

命题得证

扩展资料：

有限个无穷小量之和仍是无穷小量。

有限个无穷小量之积仍是无穷小量。

有界函数与无穷小量之积为无穷小量。

特别地，常数和无穷小量的乘积也为无穷小量。

恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大，无穷大的倒数为无穷小。

参考资料来源：百度百科-无穷小量