Question

圆锥曲线的离心率怎么定义？

Answer 1

曲线上某点的曲率半径是该点的密切圆的半径，在limΔs→0ΔαΔs=dαdslimΔs→0⁡ΔαΔs=dαds存在的条件下，k=∣∣dαds∣∣k=|dαds|。
设曲线的方程为y=f(x)，且f(x)具有二阶导数。因为tanα = y’(设-ππ/2<α<ππ/2)，所以
a=arctany’

dαdx=(arctany′)′dαdx=(arctany′)′
dα=(arctany′)′dx=y′′1+y′2dx
dα=(arctan⁡y′)′dx=y″1+y′2dx
或者

sec2αdα=y''dx，

dα=y′′sec2αdx=y′′1+tan2αdx=y′′1+y′2dxdα=y″sec2αdx=y″1+tan2αdx=y″1+y′2dx
3. 因为 ds=1+y′2−−−−−−√dxds=1+y′2dx(密切圆面积求导)，从而得到曲率公式k=f′′[1+(f′)2]32k=f″[1+(f′)2]32。