Question

当n趋向于无穷时，xn的极限为a，证明当n趋向于无穷时，（x1+x2+x3+….+xn）/n的极限为a

Answer 1

设x1，x2……xn中最大的是xi,最小的是xj。

则：

nxj/n≤（x1+x2+x3+….+xn）/n≤nxi/n。

利用夹逼定理得：

n趋向于无穷时，（x1+x2+x3+….+xn）/n的极限为a。

求极限基本方法有：

1、分式中，分子分母同除以最高次，化无穷大为无穷小计算，无穷小直接以0代入。

2、无穷大根式减去无穷大根式时，分子有理化。

3、运用洛必达法则，但是洛必达法则的运用条件是化成无穷大比无穷大，或无穷小比无穷小，分子分母还必须是连续可导函数。

Answer 2

用定义证明
分析：因为 xn的极限为a 所以 对于任给的ε ，
总存在 N1>0,使得 n>N1时 | Xn-a| < ε /2
现设X1+X2+X3+….+XN1 - N1a =A （ 常数）
而 |(x1+x2+x3+….+xn)/n - a |
= |A/n +{ ( X(N1+1) + …. + xn) - (n-N1) a } / n |
<= |A/n | +| [X(N1+1) - a] / n| + …. + +| [Xn - a] / n |
<= |A/n | +| (n-N1)ε /(2 n) |
故 要使|(x1+x2+x3+….+xn)/n - a | < ε
可使|A/n | +| (n-N1)ε /(2 n) | < ε
可解得n>2A/ε-N1, 所以
对于任给的ε ，总存在N=max{N1,2A/ε-N1}
使得n>N时 |(x1+x2+x3+….+xn)/n - a | <ε

Answer 3

设x1，x2，。。。xn中最大的是xi,最小的是xj
则
nxj/n≤（x1+x2+x3+….+xn）/n≤nxi/n
利用夹逼定理得
n趋向于无穷时，（x1+x2+x3+….+xn）/n的极限为a

追问

为什么xi,xj的极限是a？

追答

是的啊，我也有这样的疑问，所以，你的题目是有毛病的。

追问

但是书上的确是这个样子的。。。

追答

噢，那我不会证了

Answer 4

我谨提供最简单方法：利用O.Stolz定理。