Question

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．

Answer 1

将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）.

（1）如果M为CD边的中点，求证：DE∶DM∶EM=3∶4∶5；

（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由.

答案：（1）先求出DE= ， ， 后证之.

（2）注意到△DEM∽△CMG，求出△CMG的周长等于4a，从而它与点M在CD边上的位置无关

Answer 2

由折叠知，EM=EA，
设CD=AD=5a，
∴DE=5a-EM，DM=3a，MC=2a，
在Rt△EDM中，EM2=DE2+DM2，
即ME2=（5a-ME）2+（3a）2，
解得ME=17/5a
∴ED=8/5a
∴DE：DM：EM=8/5 a：3a：17/5a=8：15：17．