Question

随即变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{X=i}=1/3 （i=-1,0,1),

为什么P{X+Y<=z}=(1/3)*(P{Y<=z+1}+P{Y<=z}+P{Y<=z-1})

Answer 1

是这样的：
P{X+Y<=Z}=P{X+Y<=Z,X=-1}+P{X+Y<=Z,X=0}+P{X+Y<=Z,X=1}
=P{X=-1}P{X+Y<=Z|X=-1}+P{X=0}P{X+Y<=Z|X=0}+P{X=1}P{X+Y<=Z|X=1}
=1/3P{Y-1<=Z}+1/3P{Y<=Z}+1/3P{Y+1<=Z}
=(1/3)*(P{Y<=z+1}+P{Y<=z}+P{Y<=z-1})
把一个事件用一个完备事件组分割，然后用条件概率公式。

如果P(B1)+P(B2)+P(B3)=1
那么B1，B2，B3就是一个完备事件组，对于又一事件A，有：
P(A)=P(AB1)+P(AB2)+P(AB3)
=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
建议翻阅全概率公式章节

Answer 2

P{X+Y<=z}=P{Y<=z-X}X有三个取值，分别代入，因为X的概率分布为P{X=i}=1/3 （i=-1,0,1),所以结果为(1/3)*(P{Y<=z+1}+P{Y<=z}+P{Y<=z-1})