Question

如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2．？

Answer 1

解题思路：AC∩BD=O，分别以O 1B 1，O 1C 1，O 1O所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，（1）求出 D B 1 ， A 1 D ，计算 D 1 B • A 1 D ＝−2 a 2 ≠0 说明不垂直；
（2）当∠A 1B 1C 1在 [ π 3 ， π 2 ] 上变化时，求求出 A C 1 ， A 1 B 1 ， A C 1 • A 1 B 1 ，然后求 cos＜ A C 1 ， A 1 B 1 ＞＝ b 2 1+ b 2 ，即可求异面直线AC 1与A 1B 1所成角的取值范围．
∵菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1于O1，
设AC∩BD=O，分别以O1B1，O1C1，O1O所在直线为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，设B1（a，0，0），C1（0，b，0）（a2+b2=1），
则D1（-a，0，0），A1（0，-b，0），D（-a，0，2）
（1）∵

DB1＝(2a，0，0)，

A1D＝(−a，b，2)，
∴

D1B•

A1D＝−2a2≠0
∴B1D1与A1D不能垂直．
（2）∵∠A1B1C1∈[
π
3，
π
2]，∴

3
3≤
b
a≤1，
∵A（0，-b，2）∴

AC1＝(0，2b，−2)，

A1B
,6,如图，在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为1的菱形，侧棱长为2．
（1）B 1D 1与A 1D能否垂直？请证明你的判断；
（2）当∠A 1B 1C 1在 [ π 3 ， π 2 ] 上变化时，求异面直线AC 1与A 1B 1所成角的取值范围．