Question

一个非齐次线性方程组有3个线性无关的解

证明方程组的系数矩阵A的秩等于2.这个题怎么解？一个非齐次线性方程组有3个线性无关的解能得到什么有用的结论？ 非齐次线性方程组不是只有零解和非零解2种情况吗？非零解肯定是线性相关的啊
上面说错了，应该是 非齐次线性方程组不是只有无解，无数解和唯一解3种情况吗？

Answer 1

（1）一个非齐次线性方程组有3个线性无关的解就意味着这个方程组的通解中有着3个参数。因为方程组的通解中每个特解是线性无关的，将含有三个参数的通解中任意2个参数代0，可以得到三个线性无关的解。

（2）证明方程组的系数矩阵的秩等于2

有定理：线性矩阵有无穷多解时，通解中参数的个数=n-R(A),其中n为线性方程组未知量个数，R(A)为矩阵系数矩阵的秩。

那么这个证明可以很容易解答：未知量个数为5，而参数个数为3，那么系数矩阵的秩为5-3=2

（3）非齐次线性方程组解的情况有四种，分别是无解，只有零解，有非零解，有无穷多解。

扩展资料：

常数项不全为零的线性方程组称为非齐次线性方程组。非齐次线性方程组的表达式为：Ax=b

非齐次线性方程组Ax=b的求解步骤：

（1）对增广矩阵B施行初等行变换化为行阶梯形。若R(A)<R(B)，则方程组无解。

（2）若R(A)=R(B)，则进一步将B化为行最简形。

（3）设R(A)=R(B)=r；把行最简形中r个非零行的非0首元所对应的未知数用其余n-r个未知数（自由未知数）表示，并令自由未知数分别等于

 

，即可写出含n-r个参数的通解。

非齐次线性方程组

 

（1）有解的充分必要条件是：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，即rank(A)=rank(A, b)（否则为无解）。

（2）非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是rank(A)=n。

（3）非齐次线性方程组有无穷多解的充要条件是rank(A)<n。（rank(A)表示A的秩）

（4）非齐次线性方程组的通解=齐次线性方程组的通解+非齐次线性方程组的一个特解（η=ζ+η*

参考资料：非齐次线性方程组_百度百科

Answer 2

设非齐次线性方程组AX=b有3个线性无关的解 a1,a2,a3
则 a2-a1, a3-a1 是导出组 AX=0 的两个线性无关的解
则 n-r(A) >=2
即 r(A)<= n-2.

然后再看看别的已知条件

追问

还是没看懂。你这个定理是哪里来的？我用得是同济第5版的。。。

追答

一共4行, 告诉我哪一行的结论没看懂

追问

第2行

追答

(1) a2-a1, a3-a1 是导出组 AX=0 的解 --这是解的性质
(2) a2-a1, a3-a1 线性无关:
可以用常规证法证明,
也可这样证明:
(a2-a1, a3-a1) = (a1,a2,a3)A
A =
-1 -1
1 0
0 1
因为 a1,a2,a3 线性无关, 所以 r(a2-a1, a3-a1) = r(A) = 2.
所以 a2-a1, a3-a1 线性无关.

追问

这个懂。。但是我还是想问下 非齐次线性方程组不是只有无解，无数解和唯一解3种情况吗？怎么会像题目说的有3个线性无关的解。
原题是这样的X1+X2+X3+X4=-1，4X1+3X2+5X3-X4=-1，AX1+X2+3X3-BX4=1.有3个线性无关的解。问题1证明方程组系数矩阵A的秩为2，问题2球A B的值

追答

非齐次线性方程组不是只有无解，无数解和唯一解3种情况吗？
-- 这没问题呀, 题目只是告诉你齐次线性方程组解的一个情况, 这个情况其实蕴含了有无穷多解

上面我证明了 r(A)=2
故 r(A) = 2.