Question

如图三角形ABC中,CA=CB,以BC为直径的圆O交AB与D，圆O的切线DE交AC于E

（1）求证：DE⊥AC
（2）若∠A=60°，AB=16，EF⊥BC于F，求EF的长

Answer 1

（1）求证：DE⊥AC
BC为直径,∠CDB=90°;∠CDA=∠CDB=90°;
CA=CB,∠A=∠B,所以∠ACD=∠BCD,
∠B=∠CDE,[弧DC所对圆周角=弧DC所对圆切角]
∠CDE+∠ACD=∠B+∠BCD=90°;
所以∠CED=90°,因此DE⊥AC

（2）若∠A=60°，AB=16，EF⊥BC于F，求EF的长
∠A=60°=∠B,∠ACB=(180-2*60)=60°;
三角形ABC为等边三角形，AB=BC=CA=16;
∠BCD=30°=∠ADE=∠ACD;
EF⊥BC于F,∠CEF=30°,
AD=AC/2=16/2=8，[30°所对直角边=斜边的一半]
AE=AD/2=8/2=4;
CE=AC-AE=16-4=12，CF=CE/2=12/2=6，
EF²=CE²-CF²=12²-6²=144-36=108
EF=√108=6√3.

Answer 2

（1）∵BC为直径，D在圆上
∴CD⊥AB
∴∠A+∠ACD=90°
∵DE为切线，D在圆上
∴D为切点，∠CDE=∠B
∵CA=CB
∴∠B=∠A
∴∠A=∠CDE
∴∠CDE+∠ACD=90°
∴∠CDE=180°-（∠CDE+∠ACD）=90°
∴DE⊥AC
（2）∵∠A=60° CA=CB
∴三角形ABC为等边三角形
∠ECF=60°
在等边三角形ABC中CD⊥AB，AB=16
∴AD=0.5·AB=8，AC=16
在直角三角形ADE中AE=AD·cos60°=4
∴CE=AC-AE=12
在直角三角形CEF中EF=CE·sin60°=6√3