Question

已知△ABC的两边AB，AC的长是关于x的一元二次方程x^2-（2k+3）x+k^2+3k+2=0的两个实根．第三边BC长为5.

问：当k为何值时，△ABC为等腰三角形？

Answer 1

因为:(2k+3)^2-4(k^2+3k+2)=1>0，所以，一元二次方程有两个不相等的实数根，即AB≠AC。
那么要△ABC为等腰三角形，AB，AC中必有一个为5，所以，
25-5（2k+3）+k^2+3k+2=0，k^2-7k+12=0.
(k-3)(k-4)=0，k1=3，k2=4。
即，当k=3或4时，△ABC为等腰三角形。

Answer 2

∵(2k+3)^2-4(k^2+3k+2)=1>0，
∴方程有两个不相等的实数根
即AB≠AC。
∵△ABC为等腰三角形
∴AB=5或AC=5，
∴25-5（2k+3）+k^2+3k+2=0，
k^2-7k+12=0.
(k-3)(k-4)=0，
∴k1=3，k2=4。
即当k=3或4时，△ABC为等腰三角形

Answer 3

【分析】AB、AC是方程的两根，则根据根与系数的关系以及△ABC是以BC为斜边的直角三角形联立关于k的方程，即可求得k的值；而△ABC为等腰三角形，则要通过分类讨论三种情形，并且使分类不重不漏，再由其他条件确定k值，从而求得等腰三角形的周长.
解：(1)∵AB、AC是方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两根
∴AB+AC=2k+3，AB·AC=k2+3k+2
又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5
∴AB2+AC2=BC2∴(AB+AC)2-2AB·AC=25
即(2k+3)2-2(k2+3k+2)=25
∴k2+3k-10=0∴k1=-5或k2=2
当k=-5时，方程为x2+7x+12=0
解得x1=-3，x2=-4(舍去)
当k=2时，方程为x2-7x+12=0
解得x1=3，x2=4
∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形.