Question

三角形ABC中，∠A、∠B、∠C分别对应边a、b、c，且已知（a+b+c)(a-b+c)=3ac,tanA+tanC=3+根号3

AB边高为4乘根号3，求各个角的度数与三边长度。

Answer 1

(a+b+c)(a-b+c)=3ac,
(a+c)^2-b^2=3ac,
a^2+c^2-b^2=ac,
cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac=1/2,
B=π/3=60度.
tan(A+C)=-tanB=-√3,
即(tanA+tanC)/(1-tanAtanC)=(3+√3)/(1-tanAtanC)=-√3
tanAtanC=2+√3. (1)
tanA+tanC=3+√3. (2)
解方程得tanA=1,tanC=2+√3或tanA=2+√3,tanC=1
于是有:A=45度,B=60度,C=75度或者A=75度,B=60度,C=45度.

设AB边上高CD,CD=4√3,
A=45度,B=60度,C=75度时
AD=CD=4√3,BD=CD/tanB=(4√3)/√3=4
所以c=AB=AD+BD=4+4√3
a=BC=2BD=8,b=AC=(√2)CD=4√6
所以a=8,b=4√6,c=4+4√3

A=75度,B=60度,C=45度时
a=BC=2BD=8,BD=4,AD=CD/tanA=(4√3)/(2+√3)=-12+8√3
c=AB=BD+AD=-8+8√3
b=AC=√(AD^2+CD^2)=8√(6-3√3)
所以a=8,b=8√(6-3√3),c=-8+8√3

追问

我还有一道题，你一起解答一下啊 ，20分哦，谢谢

追答

我试试吧。
题目在哪？

追问

三角形ABC中， AB等于根号6-根号2 ，角C为90度 求AB+BC的最大值

Answer 2

由已知(a+c)^2-b^2=3ac b^2=a^2+c^2-ac
由余弦定理cosB=1/2 B=60°
tan(A+C)=(tanA+tanC)/[1-tanAtanB]=-tanB
与tanA+tanB=3+√3联立解得 A=45° C=75°
a=高/sinB=6
b=高/sinA=3√6
c=acosB+bcosA=3+3√3