Question

如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD,AB=BC,AB=3，CD=9∠C=60°,动点P以每秒1个单位的速度从点C

出发沿CD方向向点D运动，同时动点Q以相同的速度从点D出发沿DA方向向点A运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。
⑴求AD的长
⑵在第几秒时△PDQ的面积为等腰梯形面积的7/36？
⑶在BC边上是否存在一点M，使得四边形PDQM是菱形?若存在，请求出CM的长

Answer 1

1 很明显，CD=9，AB=3，∠C=60°可以得出BC=AD=6
2 ∠C=60°，所以∠D=60°，
S△PDQ=1/2*QD*SIN60° *PD=1/2*t*√3/2*(9-t)=√3/4*t*(9-t) 其中t∈[0,6]
令S△PDQ=7/36*1/2*（3+9）*3√3，得t=2或t=7（舍）
3 假设存在M满足题意，则有DP=DQ，DP=9-t，DQ=t，所以t=9/2此时，从D做一射线DM⊥PQ，交BC于M，则有MP=PD=9/2=1/2CD，而DM=√3*PD=9/2*√3，而D到BC得最短距离就是9/2*√3，所以MD⊥BC即CM=9/2<BC，所以M在BC上，且CM=9/2

Answer 2

解：（1）过点A作AE∥BC交CD于点E，则四边形ABCE是平行四边形，
∴AE=BC，
∵等腰梯形ABCD中，AD=BC，
∴AE=AD，
∵∠1=∠C=60°，
∴△AED是正三角形，
∴AD=DE，
∵CE=AB=4，CD=9，
∴ED=DC-DE=5，
∴AD=5．

（4）当MQ=PD=QD时，四边形PDQM是菱形，此时BM的长为0.5．
理由：∵MQ∥PD，
∴当MQ=PD时，四边形PDQM是平行四边形，
∴当QD=PD时，四边形PDQM是菱形，
∴MP∥
=QD，
∴∠1=∠D．
∵等腰梯形中，∠D=∠C=60°，
∴∠1=∠C=60°，
∴△CMP和△DPQ均为正三角形，且边长相等．
∴ ，
∴CM=CP=4.5．
过点B作BE∥AD交CD于点E，则四边形ABED是平行四边形，
∴BE=AD．
∵BC=AD，
∴BC=BE，
∴△BCE是正三角形，
∴BC=CE，
∵ED=AB=4，CD=9，
∴BC=CE=CD-AB=5，
∴BM=BC-CM=0.5．

Answer 3

出发沿CD方向向点D运动，同时动点Q以相同的速度从点D出发沿DA方向向点A运动，其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动。