Question

已知函数f(x)=log3x+2,x∈[1,9],求函数y=[f(x)]^2+f(x^2)的单调递增区间

Answer 1

先求出函数y=[f(x)]²+f(x²)的定义域：
∵函数f(x)的定义域是[1,9],
∴[f(x)]²有意义时，1≤x≤9……①
f(x²)有意义时，1≤x²≤9……②
联立①②得，函数y=[f(x)]²+f(x²)的定义域是[1,3].
设log(3) x=t,∵x∈[1,3]，∴t∈[0,1].
y=[f(x)]²+f(x²)=[log(3) x+2]²+ log(3) x²+2=(t+2)²+2t+2=t²+6t+6=(t+3)²-3，
[0,1]是这个关于t的二次函数的增区间，所以t=0时，y取到最小值6；t=1时，y取到最大值13. 值域是[6,13].

Answer 2

函数y=[f(x)]²+f(x²)的定义域：
函数f(x)的定义域是[1,9],
f(x)]²有意义时，1≤x≤9……①
f(x²)有意义时，1≤x²≤9……②
由①②得，函数y=[f(x)]²+f(x²)的定义域是[1,3].
设log(3) x=t,∵x∈[1,3]，∴t∈[0,1].
y=[f(x)]²+f(x²)=[log(3) x+2]²+ log(3) x²+2=(t+2)²+2t+2=t²+6t+6=(t+3)²-3，
[0,1]是这个关于t的二次函数的增区间，所以t=0时，y取到最小值6；t=1时，y取到最大值13. 值域是[6,13].