Question

已知函数f(x)=3^x+(x-2)/(x+1) (1)判断函数零点个数；（2）找出零点的区间

Answer 1

高一的解法：

①，把f(x)=3^x+(x-2)/(x+1)变形为3^x+1-3/(x+1)，

    令u(x)=3^x+1和v(x)=3/(x+1)，那么f(x)=u(x)-v(x)。

    倘若存在零点（X1,0）,应该满足u(x1)-v(x1)=0。

②，如插图所示，分别做出u(x)=3^x+1和v(x)=3/(x+1)的图像。

【提示：】3^x+1比3^x偏上一个单位；3/(x+1)比3/x偏左一个单位。

③，剩下的就看图吧【为了让图能够精确一点点的表达，我在图片上标明了一些特殊点】。

  首先，在红色虚线【即x=-1的直线】左边，绿色线减去红色线总是大于零的。

  然后，在红色虚线右边，分两种情况：

   【1】在蓝色点左边，绿色线低于红色线，u(x)-v(x)<0

   【2】在蓝色点右边，绿色线又重新并且总是高于红色线,u(x)-v(x)>0。

所以，只有一个交点，也就是一个零点。零点区间如图所示。

Answer 2

f(x)=3^x+(x-2)/(x+1) 求导得 f'(x)=3^x*ln3+(x+1-x+2)/(x+1)^2=3^x*ln3+3/(x+1)^2>0
∴f(x)在定义域上为单调递增函数，与x轴的交点只有一个，即函数零点只有一个
函数间断点为x=-1，在间断点左右均连续
∵f(0)=1-2=-1<0 f(1)=3-1/2=5/2>0 f(0)*f(1)<0
∴根据中值定理，函数零点的区间必然在(0,1)上

希望对你有帮助