Question

已知双曲线x^2/4-y^2=1,F1,F2为其左右焦点，直线l过右焦点且与双曲线右支交于A,B两点，

求|F1A|*|F1B|的最小值

Answer 1

a=2，F2(√5,0)，由第一定义
设S=|F1A|*|F1B|=(|F2A|+4)*(|F1B|+4)=|F2A|*|F2B|+4(|F2A|+|F2B|)+16
设|F2A|=m，|F2B|=n，有S=mn+4(m+n)+16≤(m+n)²/4+4(m+n)+16，其中m+n=|AB|，等号当且仅当m=n即AB与x轴垂直时成立；
又AB与x轴垂直时m+n=|AB|有最小值，所以当AB与x轴垂直时A、B(√5,±1/2)，m+n=1
Smin=1/4+4+16=81/4