Question

大学微积分之复合函数，这个为什么解错了？？

错解错在哪里？？

Answer 1

因为题目只给出g(x)在x=a处连续，并不保证g(x)在x=a处可导，所以错解中的g'(x)不一定存在
严格地说，"正确解法"也不完全对，因为g'(x)不一定存在，进而f'(a)是否存在也不知道
必须分别求f(x)在x=a处的左导数和右导数，然后比较

例如设g(x)=|x-a|, g(x)在x=a处连续，但g(x)在x=a处不可导，所以g'(a)不存在
但f(x)=(x²-a²)g(x)=(x²-a²)|x-a|
则f(x)在x=a处的左导数
f'(a-)=lim(x→a-) [f(x)-f(a)]/(x-a)=lim(x→a-) (x²-a²)|x-a|/(x-a)=lim(x→a-) (x+a)|x-a|=2a|x-a|
f(x)在x=0处的右导数
f'(a+)=lim(x→a+) [f(x)-f(a)]/(x-a)=lim(x→a+) (x²-a²)|x-a|/(x-a)=lim(x→a+) (x+a)|x-a|=2a|x-a|
∴f'(a-)=f'(a+)=f'(a)=2a|x-a|=2ag(a)

追问

刚学不大明白 老师 为什么“ g'(x)不一定存在，进而f'(a)是否存在也不知道 ”？

追答

把f(x)看作关于g(x)的函数，即令u=g(x), 则f(g(x))=f(u)
若u=g(x)在x=a处不可导，则f(u)在x=a处必不可导

追问

明白了！非常感谢 那个莱布尼兹公式考试时要背过么 还是试卷中给出？

追答

莱布尼兹公式不复杂啊，试卷中一般应该不会给出来吧

Answer 2

两个函数乘积的求导公式，只有在二者都可导的条件下才能应用。现在只有 g(x)的连续性，故第一种解法错误。
正确的解法是利用导数的定义来求。
利用导数的定义来求函数在某一点的导数有时用起来很方便。
例如：f(x) = x (x-1) (x-2) ...... (x-100), 求 f '(0), 按照定义来求是最简单的。
f '(0) = lim(x->0) [f(x) - f(0) ] / x = lim(x->0) (x-1) (x-2) ...... (x-100) = 100!