Question

设X，Y是相互独立的随机变量，X～π(λ1)，Y～π(λ2)．证明Z=X+Y～π(λ1+λ2)．

A.证明

Answer 1

【答案】：证明：P{x+y=z}=P{x=0,y=z}+P{x=1,y=z-1}+…+P{x=z,y=0}(由X,Y相互独立，得到下一步)=P{x=0}P{y=z}+P{x=1}P{y=z-1}+…+P{x=z}P{y=0}={[(λ1)^0/0!]e^(-λ1)}{[(λ2)^z/z!]e^(-λ2)}+{[(λ1)^1/1!]e^(-λ1)}{[(λ2)^(z-1)/(z-1)!]e^(-λ2)}+…+{[(λ1)^z/z!]e^(-λ1)}{[(λ2)^0/0!]e^(-λ2)}=∑<0,z>{[(λ1)^k/k!]e^(-λ1)}{[(λ2)^(z-k)/(z-k)!]e^(-λ2)}=e^[-(λ1＋λ2)]∑<0,z>{[(λ1)^k][(λ2)^(z-k)]}/[k!(z-k)!]={e^[-(λ1＋λ2)]/(z!)}∑<0,z>{[(λ1)^k][(λ2)^(z-k)]}(z!)/[k!(z-k)!]={e^[-(λ1＋λ2)]/(z!)}∑<0,z>{[(λ1)^k][(λ2)^(z-k)]}(z,k)={e^[-(λ1＋λ2)]/(z!)}[(λ1+λ2)^z]={[(λ1+λ2)^z]/(z!)}e^[-(λ1＋λ2)]即Z=X+Y～π(λ1＋λ2)