Question

高二数学解答题

已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，bn＝1/Sn，且a3b3＝1/2，S3＋S5＝21
1，求数列｛bn｝的通项公式
2，求证，b1＋b2＋……＋bn＜2

Answer 1

1.由题意知a3b3=a3/S3=a3/(3a2)=1/2,S3+S5=3a2+5a3=21，解得，a2=2，a3=3，从而d=1，a1=1。所以Sn=n(n+1)/2，bn=2(1/n-1/(n+1)
2.设｛bn｝的前n项和为Tn，则Tn=2(1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+……+1/n-1/(n+1)=2(1-1/(n+1)=2n/(n+1)＜2

Answer 2

(1)因为 b3＝1/S3=1/(a1+a2+a3)=1/(3a2)，且a3b3＝1/2
所以　a3/(3a2)＝1/2，2a3=3a2 (1)
又S3＋S5＝21，即　S3=3(a1+a3)/2=3a2，S3=3(a1+a5)/2=5a3
所以　 3a2+5a3=21 (2)
将（1）代入　（2）得　7a3=21 ，
解得　a3=3，a2=2，所以 d=1　,an=a2+(n-2)d=n
Sn=n(a1+an)/2=n(n+1)/2，bn=2/[n(n+1)]
(2)b1＋b2＋……＋bn=2[1/(1×2)+1/(2×3)+…+1/n(n+1)]
=2[1-1/2 +1/2 -1/3 +1/3 -1/4 +…+1/n- 1/(n+1)]
=2[1-1/(n+1)]=2×[n/(n+1)]<2

Answer 3

(1).S3=3a1+3d, a3=a1+2d b3=1/(3a1+3d) 因为a3b3=1/2, 所以(a1+2d)/(3a1+3d)=1/2 解得到a1=d 因为S3+S5=21 所以3a1+3a1+5a1+10a1=21 得a1=d=1 所以bn=2/(n^2+n)={2/n}-{2/(n+1)}
(2)b1+b2+...+bn=2/1-2/2+2/2-2/3+...2/n-2/(n+1)＝2-2/(n+1) 因为n>0 所以 2-2/(n+1)>0

Answer 4

bn=2/(n*(n+1))=2*(1/n-n/(n+1))
b1+b2+……+bn=2*[ 1-1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/(n-1)-1/n+1/n-1/(n+1) ]
=2*( 1-1/(n+1) ) = 2* [ n/(n+1)] <2