Question

证：对任意正整数n，都有1/n+1 < ln(1+1/n) <1/n .

Answer 1

1/n+1 < ln(1+1/n) <1/n
不妨令1/n为x,
即证
x/(x+1) < ln(1+x) <x
令f(t)=ln(1+t) 0<=t<=x
由拉格朗日中值定理得
存在ξ属于(0,x),使得
f'(ξ)=[ln(1+x)-ln1]/(x-0)=ln(1+x)/x=1/(1+ξ)
ξ=0时最大,ξ=x时最小,即
1>ln(1+x)/x>1/(1+x)
所以
x/(x+1) < ln(1+x) <x对一切正数都成立,当然包括1/n
所以有1/n+1 < ln(1+1/n) <1/n

Answer 2

构造函数
f(x)=ln(1+x)-x，定义在(0,1]
求导得f'(x)=-(x/1+x)，在(0,1]上恒有f'(x)≤0，即f(x)在(0,1]上单调不增
那么f(x)≤f(0)=0
即ln(1+x)≤x，x∈(0,1]
取x=1/n，则原不等式右半得证

同理可证左半