Question

已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，且y=f(x+∏/2)为偶函数，对于函数y=f(x)有下列几种描述

①y=f(x)是周期函数
②x=π是它的一条对称轴
③（-π，0）是它图像的一个对称中心
④当x=π/2时，它一定取最大值

选正确的。如果假设y=f(x)=sinx,④好像是正确的呀。

Answer 1

描述正确的是：1、3
理由：由已知可得：f(-x)=-f(x) ……①
f(-x-π/2)=-f(x+π/2)……②
f(-x+π/2)=f(x+π/2)……③
由③知 函数f(x)有对称轴x=π/2
由②③得 f(-x-π/2)=-f(-x+π/2)
令z=-x+π/2 则-x-π/2=z-π ,∴f(z-π)=-f(z),以此公式得：
f(z-π-π)=-f(z-π),将上式代入此式得:
f(z-2π)=f(z)
可见函数f(x)是周期函数，且周期为2π
由①知：f(-z)=-f(z) ,代入上式得：f(z-2π)=-f(-z)
由此式可知：函数f(x)有对称中心（-π ，0） 注意：4中，y=sin(X)只是一种特殊情况，换成其他函数就不行了

追问

y=f(x+∏/2)为偶函数,怎么得出f(-x-π/2)=-f(x+π/2)……②呢？

追答

不是由它是偶函数得来的，而是因为f(x)是定义在R上的奇函数，由f(-x)=-f(x) ，得， f(-x-π/2)=-f(x+π/2)注意：这是根据奇函数的性质的来的。

Answer 2

答：描述正确的是：1、3
理由：由已知可得：f(-x)=-f(x) ……①
f(-x-π/2)=-f(x+π/2)……②
f(-x+π/2)=f(x+π/2)……③
由③知 函数f(x)有对称轴x=π/2
由②③得 f(-x-π/2)=-f(-x+π/2)
令z=-x+π/2 则-x-π/2=z-π ,∴f(z-π)=-f(z),以此公式得：
f(z-π-π)=-f(z-π),将上式代入此式得:
f(z-2π)=f(z)
可见函数f(x)是周期函数，且周期为2π
由①知：f(-z)=-f(z) ,代入上式得：f(z-2π)=-f(-z)
由此式可知：函数f(x)有对称中心（-π ，0）

追问

y=f(x+∏/2)为偶函数,怎么得出f(-x-π/2)=-f(x+π/2)……②呢？

Answer 3

f(x)=-f(-x)
f(x+π/2)=f(-x+π/2)
f(x+π)=f((x+π/2)+π/2)=f(-(x+π/2)+π/2)=f(-x)=-f(x)
f(x+2π)=f((x+π)+π)=-f(x+π)=f(x) ①对
f(-x+π)=f((-x+π/2)+π/2)=f(x-π/2+π/2)=f(x)
f(x+π) = - f(-x+π) ②错③对
至于④，你举的是一种特殊情况，也可能取最小值

追问

最小值 ？有没有一个例子？