Question

奇次多项式F（x）=a0*x^(2n+1)+a1*x^(2n)+……+a2n*x+a2n+1至少有一实根，已知a0不等于0

其中a0，a1，a2n，a2n+1的0,1等为下标号

Answer 1

不妨设a0>0,则当x-->+无穷时,有
F（x)-->+无穷,所以必存在x1, 使得F(x1)>0,
当x-->-无穷时, F(x)-->-无穷,所以必存在x2,且x2<x1, 使得F(x2)<0,
F(x)是一个多项式函数,是一个初等函数,所以在[x2,x1]上一定是连续函数,
由根的存在性定理,在(x2,x1)内一定至少存在一个点c, 使得F(c)=0.
即F(x)至少有一实根.