Question

积分的乘积与乘积的积分的关系

积分的乘积与乘积的积分的关系
假设f(x)>0；∫[根号f(x)] * [根号f(x)] dx * ∫1/[根号f(x)*根号f(x)] dx 与
{∫根号f(x)*[1/根号f(x)] dx}的平方 的 大小关系？
（或∫f(x) dx * ∫1/f(x) dx 与 ∫f(x)*[1/f(x)] dx的关系）
.参考答案只说了他们的大小关系是取“>=”；但是我不知道为什么。
补充：所有的积分的上下限分别是a、b，没有说明a、b的取值范围，只是说了
f(x)在[a、b]连续

Answer 1

关系如下：

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。

基本介绍：

积分发展的动力源自实际应用中的需求。实际操作中，有时候可以用粗略的方式进行估算一些未知量，但随着科技的发展，很多时候需要知道精确的数值。要求简单几何形体的面积或体积，可以套用已知的公式。

比如一个长方体状的游泳池的容积可以用长×宽×高求出。但如果游泳池是卵形、抛物型或更加不规则的形状，就需要用积分来求出容积。物理学中，常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果，这时也需要用到积分。

Answer 2

这是个著名的数学公式：柯西不等式
根据：[f(x)-tg(x)]²≥0
构造 ∫[f(x)-tg(x)]²dx≥0展开后关于t的二次函数利用判别式<=0得证
希望对你有帮助~

追问

还是不懂，你这个只是说了 乘积的积分 是大于零的，显然这个公式是成立的，因为有平方项吗

但是∫f(x) dx * ∫1/f(x) dx 与 ∫f(x)*[1/f(x)] dx 的大小没说啊
特别是那个积分的乘积那里的判断啊

追答

我都已经告诉你证明的做法了，你按照我说的纸上一写1分钟的事情~
∫f(x) dx * ∫1/f(x) dx ≥ ∫f(x)*[1/f(x)] dx

追问

老大，你给个详细的过程，或者实在不行，多给个提示也行啊，还有，我的问题改了一下，改的详细了，刚才有个地方错了∫f(x) dx * ∫1/f(x) dx 与 {∫f(x)*[1/f(x)] dx}的平方的关系）

追答

根据：[f(x)-tg(x)]²≥0
构造 ∫[f(x)-tg(x)]²dx≥0
∫f²(x)dx-2t∫f(x)g(x)dx+t²∫g²(x)dx≥0
[∫g²(x)dx] t²-[2∫f(x)g(x)dx] t+∫f²(x)dx≧0
这是关于t的二次函数≥0的高中的知识，那么是不是应该有Δ≤0？
Δ=[2∫f(x)g(x)dx]²-4[∫g²(x)dx][∫f²(x)dx]≤0
∴[∫f(x)g(x)dx]²≤[∫g²(x)dx][∫f²(x)dx]
至此，著名的柯西不等式证毕！！！
哎，我已经将方法都告诉你了，学高数最忌讳的一个就是好高骛远，只是看而不自己动手，有时候就算给你了整个过程你当时好像是看懂了，书一合上，让你自己证明的时候却又无从下手。这也是给你个小建议~记得多动手，亲自实践证明过的才能深切的掌握和吸收~

追问

我带的时候忘了把积分也戴上 呵呵，谢谢啊，，哥

追答

不用的~~~我也是过来人，祝你能够学好这门课程，高数学好了就会觉得很有意思的