Question

求二阶导数

一阶导数=dy/dx=-(x/4y)
二阶导数=d^2y/dx^2
=-(1/4)*[d(x/y))/dx]
-1/4*[(1*y-x*dy/dx)/y^2]
=-1/4*[y-x(-x/4y)/y^2
=问这个中间步骤是用什么方法求得
=4y^2+x^2/16y^3

Answer 1

分数的导数等于分子的导数乘上分母的导数，再减去分母的导数与分子的积，最后在除上分母的平方
dy/dx==-(1/4)*[d(x/y))/dx]
d(x/y))/dx=[(dx/dx)*y-x*dy/dx)]/y^2=(1*y-x*dy/dx)/y^2=(y-x*dy/dx)/y^2
将dy/dx=-(x/4y)代入，得d(x/y))/dx=（y-x*dy/dx)/y^2=[y-x(-x/4y)]/y^2=1/y+x^2/4y^3
d^2y/dx^2=-(1/4)*[d(x/y))/dx]=4y^2+x^2/16y^3=-1/(4y)-x²/(16y³)

追问

得d(x/y))/dx=（y-x*dy/dx)/y^2=[y-x(-x/4y)]/y^2=1/y+x^2/4y^3
1/y是y/y^2 x^2/4y^3 怎么来的？是用导数公式还是分式公式

追答

用分数的求导公式得来的
分数的导数等于分子的导数乘上分母的导数，再减去分母的导数与分子的积，最后在除上分母的平方
d[f(x)/g(x)]/dx=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^2
这里f(x)=x,g(x)=y,代入即可求得

Answer 2

dy/dx=-x/4y
d²y/dx²=-d(x/4y)/dx
因为d(x/4y)=(4ydx-4xdy)/16y²
所以d²y/dx²=-[4y/16y²-4x/16y²*(-x/4y)]=-1/4y-x²/16y³