Question

三角函数公式诱导公式的推导过程详解

Answer 1

　　三角函数诱导公式是三角函数中一个常用的公式，在考试中也时常出现相关考点。下面是由我为大家整理的“三角函数公式诱导公式的推导过程详解”，仅供参考，欢迎大家阅读本文。

　　三角函数诱导公式

　　1、任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

　　sin(-α)=-sinα

　　cos(-α)=cosα

　　tan(-α)=-tanα

　　cot(-α)=-cotα

　　2、设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π+α)=-sinα

　　cos(π+α)=-cosα

　　tan(π+α)=tanα

　　cot(π+α)=cotα

　　3、利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π-α)=sinα

　　cos(π-α)=-cosα

　　tan(π-α)=-tanα

　　cot(π-α)=-cotα

　　4、设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

　　sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)

　　cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)

　　tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)

　　cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)

　　5、利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(2π-α)=-sinα

　　cos(2π-α)=cosα

　　tan(2π-α)=-tanα

　　cot(2π-α)=-cotα

　　6、π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

　　sin(π/2+α)=cosα

　　cos(π/2+α)=-sinα

　　tan(π/2+α)=-cotα

　　cot(π/2+α)=-tanα

　　sin(π/2-α)=cosα

　　cos(π/2-α)=sinα

　　tan(π/2-α)=cotα

　　cot(π/2-α)=tanα

　　sin(3π/2+α)=-cosα

　　cos(3π/2+α)=sinα

　　tan(3π/2+α)=-cotα

　　cot(3π/2+α)=-tanα

　　sin(3π/2-α)=-cosα

　　cos(3π/2-α)=-sinα

　　tan(3π/2-α)=cotα

　　cot(3π/2-α)=tanα

　　(以上k∈Z)

　　三角函数诱导公式推导过程

　　万能公式推导

　　sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/[cos2(α)+sin2(α)]，

　　(因为cos2(α)+sin2(α)=1)

　　再把分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α=2tanα/[1+tan2(α)]

　　然后用α/2代替α即可。

　　同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

　　三倍角公式推导

　　tan3α=sin3α/cos3α

　　=(sin2αcosα+cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

　　=[2sinαcos2(α)+cos2(α)sinα-sin3(α)]/[cos3(α)-cosαsin2(α)-2sin2(α)cosα]

　　上下同除以cos3(α)，得：

　　tan3α=[3tanα-tan3(α)]/[1-3tan2(α)]

　　sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα=2sinαcos2(α)+[1-2sin2(α)]sinα=2sinα-2sin3(α)+sinα-2sin3(α)=3sinα-4sin3(α)

　　cos3α=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα=[2cos2(α)-1]cosα-2cosαsin2(α)=2cos3(α)-cosα+[2cosα-2cos3(α)]=4cos3(α)-3cosα

　　即：

　　sin3α=3sinα-4sin3(α)

　　cos3α=4cos3(α)-3cosα

　　和差化积公式推导

　　首先,我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

　　我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

　　同理，若把两式相减，就得到cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2

　　同样的，我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

　　所以，把两式相加，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

　　同理，两式相减我们就得到sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

　　这样，我们就得到了积化和差的公式：cosasinb=[sin(a+b)-sin(a-b)]/2;sinasinb=-[cos(a+b)-cos(a-b)]/2

　　好，有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形，就可以得到和差化积的四个公式;

　　我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y，那么a=(x+y)/2，b=(x-y)/2

　　把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

　　sinx+siny=2sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

　　sinx-siny=2cos[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

　　cosx+cosy=2cos[(x+y)/2]cos[(x-y)/2]

　　cosx-cosy=-2sin[(x+y)/2]sin[(x-y)/2]

　　 拓展阅读：三角函数诱导公式口诀

　　三角函数诱导记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”。

　　“奇、偶”指的是π/2的倍数的奇偶，“变与不变”指的是三角函数的名称的变化：“变”是指正弦变余弦，正切变余切。(反之亦然成立)“符号看象限”的含义是：把角α看做锐角，不考虑α角所在象限，看n·(π/2)±α是第几象限角，从而得到等式右边是正号还是负号。