Question

用二分法求方程x=3-lgx在区间（2，3）内的近似解 精确度0.3

Answer 1

由题知，f(x)=lgx+x-3，在x＞0时单调递增，
f(2)=lg2-1＜lg10-1=0，f(3)=lg3＞lg1=0，
即方程根在(2，3)之间，
当2＜x＜3时，区间中点值为(2+3)/2=2.5，
f(2.5)=lg2.5-0.5=lg2.5-lg10^1/2=lg2.5-lg√10＜lg2.5-lg3＜0（因为√10＞3=√9），
即方程根在(2.5，3)之间，
当2.5＜x＜3时，区间中点值为(2.5+3)/2=2.75，
f(2.75)=lg2.75-0.25＞lg2-0.25=lg2-lg10^1/4=lg2-lg(4次根号下10)＞0(因为2⁴=16＞10)，
即方程根在(2.5，2.75)之间；

如此往复下去，区间两端点的差值的绝对值越来越小，当这个差值为0时，也就找到了原方程的根。但是二分法不需要，二分法一般用于无法用求根公式求解的方程求出近似解。那么区间两端点的差值就不会等于0，只会无限接近于0，而这个差值就用精确度ε表示；

本题ε=0.3，而区间(2.5，2.75)的精确度ε′=|2.5-2.75|=0.25＜0.3，所以本题用二分法到此为止即可。
下面比较f(2.5)与f(2.75)，谁的绝对值越小或者谁越接近于0，那么它就是本题近似解；
f(2.5)=lg2.5-lg√10=lg(2.5/√10)≈lg0.79，(√10≈3.16)
f(2.75)=lg2.75-lg(4次根号下10)≈lg1.5，(4次根号下10≈1.778)
故|f(2.5)|=|lg0.79|=-lg0.79=lg(1/0.79)≈lg1.2658＜|f(2.75)|≈lg1.5，
那么原方程在区间(2，3)上的近似解为x=2.5(ε=0.3)。