Question

高一数学，高手速解！

已知函数f(x)=(x-a)/(x^2+bx+1)是奇函数。
（1）.求a和b的值
（2）.求f(x)的单调区间
（3）.求f(x)的值域。

Answer 1

1)因是奇函数所以 f(a)=-f(-a)得a=0 , f(-1)=-f(-1)得b=0, f(x) = x/(x2+1)
2) f'(x)= (1-x^2)/ (x^2+1)^2 , f'(x) = 0 , x=+/-1
当 x <-1, f'(x) <0 . 当 -1>= x >=1 , f' (x) >=0, 当 x>1, f'(x)<0

3) f(x) 为连续函数，其最大和 最小值为 x=+/-1 f(-1)= -1/2 , f(1)=1/2 x =>+/-无限时 =>0所以
f(x)的值域 为 -1<=f(x)<=1

追问

请问为什么第2题里当 f'(x) = 0 , x=+/-1 时可以看出区间

追答

因f'(x)=0是f(x) 的最大最小值，f('x) 在+/-1 從負變正或從正變負 , 在其他 x 的情況f'(x) 都沒有改變正負，因f'(x) 是函數的斜率，斜率正f(x)單調遞增，負則 f(x) 單調遞減 , 在f'(x) 沒有改變正負號的情況下f(x) 是不會改變其單調遞增或單調遞減的性質，所以在f(x) 只在f(-1) 和 f(1)的 前後 改變其單調遞增或單調遞減的性質。
而且f(x) 為連續，所以不會出 現數值的飛躍，所以那變化也是連續的，從負變正或從正變負，而不會出現有最低最高點，但前後斜率一樣的情況。
如果還不明白可以再追問，但如果你能把f(x) 的圖畫出來，會更容易明白，畢竟人學習有70%所是視覺想像。 寫錯了，f(x) 的值域是 -1/2<=f(x)<=1/2

Answer 2

已知函数f(x)=(x-a)/(x^2+bx+1)是奇函数。
（1）.求a和b的值
判别(x^2+bx+1)能不能是奇函数。
（-x）^2-bx+1=x^2-bx+1≠-x^2-bx-1
(x^2+bx+1)不能是奇函数,只能是偶函数
此时b=0
已知函数f(x)=(x-a)/(x^2+bx+1)是奇函数。
要求(x-a)是奇函数，a=0
（2）.求f(x)的单调区间
f(x)=x/(x^2+1)
x>=0,递减
X<0,递增
（3）.求f(x)的值域。
用判别式法
y=x/(x^2+1)
Yx^2-x+y=0
1-4y^2=0
Y^2=1/4
-1/2<Y<=1/2

追问

请问能不能把求f(x)的单调区间的具体过程写一下？

Answer 3

（1） f(1)+f(-1)=0<=>(1-a)/(2+b)+(-1-a)/(2-b)=0<=>2a+b=0
f(2)+f(-2)=0<=>(2-a)/(5+2b)+(-2-a)/(5-2b)=0<=>5a+4b=0
解二元一次方程组，得a=0，b=0。f(x)=x/(x^2+1)
（2） f'(x)=(1-X^2)/(X^2+1)^2，当-1<x<1时，f'(x)>0，当|x|>1是，f'(x)<0
所以，在(-1,1)上递增，在（-∞，－1）和（1，+∞）上递减
（3） f(-1)=-1/2,f(1)=1/2,f(-∞)=f(+∞)=0,
所以，值域为[-1/2,1/2]