Question

已知F1,F2是椭圆C;x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上一点,且向量

PF1⊥向量PF2，若三角形PF1F2的面积为9，则b=

Answer 1

设P（x,y）由焦半径公式
1/2(a-ex)(a+ex)=9 ①
由PF1⊥PF2可知数量积为0，即
(c+x)(x-c)+y^2=0 ②
又P符合椭圆方程，即
bx^2+ay^2=a^2b^2 ③
由椭圆第一定义有
a^2=b^2+c^2 ④
由①式可得
a^2-c^2/a^2*x^2=18 ⑤
由②式可得
x^2+y^2=c^2 ⑥
联立⑥④带入③整合得
x^2+y^2=a^2-c^2 ⑦
由⑥⑦相减得
a=√2c ⑧
将⑦式与④式整合得
b=c ⑨
令③中的b^2=a^2-c^2,带入⑧⑨解得
x^2+2y^2=c^2 ⑩
⑥⑩相减得
x=0,y=c
将x=0带入⑤式解得
a=3√2
由⑧⑨可知
b=3

（注：⑤到⑩只是我把详细的计算过程写出来，方便你理解，真正考试中可以直接写联立①②③④解得b=3）
不懂再问，希望采纳

Answer 2

椭圆:x²/a²+y²/b²=1, c²=a²-b²
∴F1(-c,0),F2(c,0), F1F2=2c
∵PF1⊥PF2
∴PF1²+PF2²=F1F2²=4c²=4(a²-b²)①
由椭圆定义:PF1+PF2=2a, ∴PF1²+PF2²+2PF1*PF2=4a²②
②-①得 2PF1*PF2=4b², ∴PF1*PF2=2b²
S△PF1F2=PF1*PF2/2=2b²/2=b²=9, ∴b=3