Question

AB是圆O的直径，D是圆上一点，AD弧=DC弧，连接AC，过点D作弦AC的平行线MN。 已知AB=10 AD=6 求弦BC的长

Answer 1

连接AD,BD,
AB是圆O的直径,∠ADB=∠ACB=90°，
DB²=AB²-AD²=10²-6²=8²
DB=8，
连接OD,交AC于F,
MN是是圆O的切线，切点为D,∠ODM=90°，
AC//MN,∠OFA=∠ODM=90°,∠DFA=90°,
AD弧=DC弧,∠ABD=∠DAF,
∠ADB=∠DFA=90°,
所以,∠BAD=∠ADF,
RT△ADB∽RT△DFA[AAA]
DB:AF=AB:AD
8：AF=10：6
AF=4.8;
AF=FC,[证明略]
AC=2AF=2*4.8=9.6
BC²=AB²-AC²=10²-9.6²=7.84
BC=2.8.

Answer 2

连OD交AC于E。
∵弧AD＝弧DC，∴AD＝DC，而OA＝OD＝OC，∴△OAD≌△OCD，∴∠AOD＝∠COD，
∴OD⊥AC、AE＝CE＝AC/2。
由OA＝OB、AE＝CE，得：OE＝BC/2，∴DE＝OD－OE＝AB/2－BC/2＝5－BC/2。
∵AB是直径，∴BC⊥AC。

由勾股定理，有：AE^2＋DE^2＝AD^2、　AC^2＋BC^2＝AB^2，
∴（AC/2）^2＋（5－BC/2）^2＝36、　AC^2＋BC^2＝100，
∴AC^2/4＋25－5BC＋BC^2/4＝36、　AC^2/4＋BC^2/4＝25，
两式相减，得：25－5BC＝11，　∴BC＝14/5。