Question

∞∑n=1 1/n x^(n-1）的和函数？

Answer 1

考虑级数收敛的条件，根据比值判别法，当 |x| < 1 时，级数绝对收敛，因此在这个收敛域内，可以对级数进行求和。
设 S(x) 为级数的和函数，即：
S(x) = ∞∑n=1 1/n x^(n-1)
对 S(x) 进行求导，得到：
S'(x) = ∞∑n=1 d/dx (1/n x^(n-1))
对其中的每一项进行求导，得到：
d/dx (1/n x^(n-1)) = 1/n d/dx (x^(n-1)) = x^(n-2)
因此，有
S'(x) = ∞∑n=1 x^(n-2)
对求和式进行变形，得到：
S'(x) = x^(-1) + x^0 + x^1 + x^2 + ...
这是一个等比数列，公比为 x，因此可以求得：
S'(x) = x^(-1) / (1-x)
对 S'(x) 进行不定积分，得到：
S(x) = ln|x| - ln|1-x| + C
其中 C 为常数。因为 S(0) = 0，所以 C = 0，因此有：
S(x) = ln|x| - ln|1-x|
因此，对于 |x| < 1，级数的和函数为 S(x) = ln|x| - ln|1-x|。

Answer 2

该函数的求和式为：
f(x) = ∑n=1 1/n x^(n-1)
使用幂级数展开的方法可以得到该函数的表达式：
f(x) = ln(1+x)
因此，该函数的和函数为：
F(x) = ∫0^x ln(1+t) dt

Answer 3

• consider

1/(1-u) = 1+u+u^2+....

• 两边取积分

∫(0->x) du/(1-u) =∫(0->x) [1+u+u^2+....] du

ln(1-x) = x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+...

∑(n:1->∞) (1/n)x^(n-1)

= x+(1/2)x^2+(1/3)x^3+...

=ln(1-x)