Question

大一的微积分题目，求帮助！！！

设函数f（x）在x=0处连续，且lim(x趋向0)f（x）除以（绝对值x）=A存在，证明f(x)在x=0处可导的充要条件为A=0
谢啦

Answer 1

∵ lim(x趋向0)f（x）除以（绝对值x）=A存在
∴ f(0)=0;
∴ lim(x趋向0)f'(x) = lim [f(x)-f(0)]/(x-0) = lim f(x)/x ;

∴ 当f(x)在x=0处可导，得：lim(x趋向0负)f‘(x) = lim(x趋向0正)f'(x)
∴ -A = lim -f(0-)/|x| = lim f(0+)/|x| = A ∴A=0
这证了充分性，以上过程逆过来就得必要性

追问

为什么f（0）=0？

追答

lim(x趋向0)f（x）除以（绝对值x）=A存在

分母为0，那分子必为0，这样 0/0 才会存在，不然是无穷大，而且这说明分子分母是同阶的

Answer 2

必要性“

充分性