Question

如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A做直线MN，若∠MAC=∠ABC

（1）求证：MN是半圆的切线
（2）设D是弧AC的中点，连接AD、BD，BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证AF=FG

Answer 1

证明:(1)AB为直径,则∠ACB=90°,∠CAB+∠ABC=90°.
又∠MAC=∠ABC,故∠MAC+∠CAB=90°,得MN为半圆的切线.
(2)AB为直径,∠ADB=90°=∠DEB,则∠ADE=∠ABD(均为∠DAE的余角).
又弧AD=弧CD,则∠DAC=∠ABD.
∴∠DAC=∠ADE(等量代换),AF=DF.
故∠DGA=∠GDF(等角的余角相等),FG=DF.
所以,AF=FG.

Answer 2

∠ABC+∠CAB=90
所以∠MAC+∠CAB=90
所以MN是半圆的切线