Question

如图7,AD是RT△ABC斜边BC上的高,∠B的平分线交AD于点E,交AC于点G

如图7,AD是RT△ABC斜边BC上的高,∠B的平分线交AD于点E,交AC于点G
（1）比较AE，AG的大小，并说明理由；
（2）作GF⊥BC于点F，连结EF，判断四边形AEFG的形状，并说明理由；
（3）若AD=4，BD=3，求AE的长。

Answer 1

由已知可得△ADC~△ABD~△ABC。
在Rt△ABD中，AD=4，BD=3，得AB=5.
由△ADC~△ABD得AD/CD=BD/AD,得CD=16/3.由勾股定理得AC=20/3,
同理，△ABE~△CBG,所以AE/CG=AB/AC
又AB/BC=AB/(BD+CD)=3/5，所以，AE=AB*CG/AC=3/4 CG
又S△BCG=1/2S△ABC（等高，底为其一半）
有CG=10/3
所以AE=3/4 CG =3/4 * 10/3 =5/2

追问

谢谢，不过。。。前两个小题呢？请回答吧。。。

追答

（1） 因为∠AEG= ∠EAB+ 1/2∠ABC， ∠AGE=∠C+1/2∠ABC) 得出 ∠C=∠EAB
所以 ∠AEG= ∠AGE 故 AE=AG
（2）因为AG=GF (角平分线上的点到两边的距离相等）BG=BG,
所以 △ABG≡△FBG, 故, ∠AGB=∠FGB
又因为 EG=EG AG=GF
所以 △AEG≡△FEG ,故 AE=EF,
即 AG=GF= AE=EF
所以四边形AEFG的形状是菱形

追问

得出 ∠C=∠EAB
所以 ∠AEG= ∠AGE 故 AE=AG
这里我有些不懂，你能说清楚些吗？

追答

嗯，我这没有画图的软件，口述在没有图的情况下又不能很好的解释给你听，要不你想想想，我在看看我的电脑能否下载制图软件。

追问

恩。。。谢谢了。。

追答

不客气，能遇到你这样好学的认识对我来说也是一种动力，同样也谢谢你！

Answer 2

由已知可得△ADC~△ABD~△ABC。
在Rt△ABD中，AD=4，BD=3，得AB=5.
由△ADC~△ABD得AD/CD=BD/AD,得CD=16/3.由勾股定理得AC=20/3,
同理，△ABE~△CBG,所以AE/CG=AB/AC
又AB/BC=AB/(BD+CD)=3/5，所以，AE=AB*CG/AC=3/4 CG
又S△BCG=1/2S△ABC（等高，底为其一半）
有CG=10/3
所以AE=3/4 CG =3/4 * 10/3 =5/2