Question

二重积分对称区域上奇偶函数的积分性质中关于X轴，Y轴和原点对称的疑问？

积分区域D关于原点对称，
1、∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数，即f(-x,-y)=-f(x,y)时）
2、∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分），（当f关于x,y的偶函数，即f(-x,-y)=f(x,y)时）
现假设区域D为X²+Y²=1，f(x,y)=XY。
首先，区域D关于X轴对称，f(x,y）对Y是奇函数，那么∫∫f(x,y)dxdy=0：
或者，区域D关于Y轴对称，f(x,y）对X是奇函数，那么∫∫f(x,y)dxdy=0：
但是，区域D关于原点对称，f(x,y）是关于x,y的偶函数，那么
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分）；结果不是0.
请问上述问题该如何解释？

Answer 1

不知道楼主现在有没有搞明白这个问题，貌似回答得有点晚了。这个问题也困扰了我很久，现在基本上弄清楚了。其实你的两个答案并不矛盾。首先确定一点，这个积分的积分值肯定是等于0的。其次原因是：因为f(x,y)=XY不仅是同时关于XY的偶函数，而且它还是关于X的奇函数或者(注意是或者)关于Y的奇函数，所以第一步：∫∫f(x,y)dxdy（在D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在D*上积分，D*是D在x>=0或y>=0的部分）；第二步：如果D*是x>=0的部分，即D*关于Y轴对称，而因为f(x,y)=xy是关于x的奇函数，所以此时∫∫f(x,y)dxdy（在D*上积分）=0；同理，如果D*是y>=0的部分，即D*关于X轴对称，而又因为f(x,y)=xy是关于y的奇函数，所以此时∫∫f(x,y)dxdy（在D*上积分）=0。综上，不管D*是x>=0还是y>=0的部分，∫∫f(x,y)dxdy（在D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在D*上积分）=2×0=0 。

Answer 2

结果也是0，因为：
【∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分）；】
这里面的2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分）本身就等于0，因为f(x,y)是奇函数

追问

我算了怎么不是0啊？能给出详细点的计算吗？

Answer 3

奇函数

追问

能解的具体点吗？

Answer 4

对的

追问

到底哪个是对的？结果到底是不是0？