Question

把复数域看作复数域上的线性空间,这个空间的维数是?

Answer 1

把复数域 $\mathbb{C}$ 看作复数域上的线性空间时，它的维数是无限维的。
一个复数可以表示为 $a+bi$ 的形式，其中 $a,b$ 是实数，$i$ 是虚数单位。因此，我们可以把 $\mathbb{C}$ 看作是实数域 $\mathbb{R}$ 上的二维线性空间，它的一组基是 ${1,i}$。这意味着任何一个复数都可以用实数 $1$ 和 $i$ 的线性组合来表示，即 $\mathbb{C}$ 中的任何一个向量都可以表示为 $\alpha_1 \cdot 1 + \alpha_2 \cdot i$ 的形式，其中 $\alpha_1, \alpha_2 \in \mathbb{R}$。
然而，这个线性空间是无限维的，因为我们可以选择无限多个线性无关的基向量，例如 ${1,i,i^2,i^3,\ldots}$。因此，复数域看作复数域上的线性空间时，它的维数是无限维的。