Question

高中数学解答题

在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，角DAB=60度，对角线AC与BD交于O，C1O与平面ABCD所成的角为60度，1.求三棱锥C1-BCD的体积，2.求异面直线C1O与AB所成的角，全过程

Answer 1

1、求体积，体积=1/3×底面积×高，其中底面积=1/2×四棱柱底面积=1/2×2×2×sin60°=√3；求高稍微麻烦点，首先计算菱形对角线一半的长度，OC=2×sin60°=√3，又三角形OCC1为直角三角形，且角COC1=60°，所以高==√3×tan60°=3，所以，体积=√3。
2、求角度，因为AB平行于B1C1，所以AB与C1O所成的角等于B1C1与C1O所成的角，过O做B1C1的垂线，垂足比如为B!C1的中点K，所以KC1=1，又OC1=√(OC²+CC1²)=√(3+3²)=2√3，所以cosKC1O=1/2√3=√3/6,所以两异面直线的夹角为arccos√3/6

Answer 2

1)根据题意可知CO=√3,∠C1OC=60,∠C1CO=90,可得C1C=3，因此三棱锥C1-BCD的体积V=S*H/3=√3；
2）建立坐标系以O为定点，OC为x轴，OB为y轴，OO1为z轴，可得直线AB=(√3，1，0)，C1O=(√3,0,3)，因此cos(AB,C1O)=AB*C1O/∣AB∣*∣C1O∣=√3/4