Question

41.求不定积分(x-1)/(1+(2x-1))dx.

Answer 1

方法如下，请作参考：

若有帮助，请采纳。

追答

方法如下，请作参考：

若有帮助，请采纳。

Answer 2

可以先对分母进行化简：
1 + (2x - 1) = 2x
所以原式可以写为：
(x - 1)/(2x) dx
接下来可以将被积函数分解为两个部分：
(x/2x) dx - (1/2x) dx
第一个部分可以简化为：
(x/2x) dx = (1/2) dx
第二个部分可以通过换元法来求积，令 u = 2x，则 du/dx = 2，dx = du/2，代入得到：
-(1/2x) dx = -1/u du
所以原式可以写为：
(1/2) dx - ∫(1/u) du
= (1/2) dx - ln|u| + C
将 u = 2x 代入，得到：
(1/2) dx - ln|2x| + C
所以原式的不定积分为：
∫(x-1)/(1+(2x-1))dx = (1/2) ln|2x| + (x/2) + C
如果你想要进行一步简化，可以将 ln|2x| 写成 ln|x| + ln|2| 的形式，得到：
∫(x-1)/(1+(2x-1))dx = (1/2) ln|x| + (1/2) ln|2| + (x/2) + C
可以看到，这个不定积分的通解包含一个任意常数 C，这是因为不定积分不仅仅是一个函数，而是一个函数族。你可以通过给定特定的边界条件来求解出一个特定的不定积分。