线性代数赵树嫄答案第四章10题199页
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证明: 因为A与B相似, 则存在可逆矩阵P, 满足 A = P^-1BP.
所以 A^k = (P^-1BP)^k
= (P^-1BP)(P^-1BP)(P^-1BP)...(P^-1BP)(P^-1BP)
= P^-1B(PP^-1)B(PP^-1)BP...P^-1B(PP^-1)BP
= P^-1 B^k P.
所以 A^k 与 B^k 相似.
所以 A^k = (P^-1BP)^k
= (P^-1BP)(P^-1BP)(P^-1BP)...(P^-1BP)(P^-1BP)
= P^-1B(PP^-1)B(PP^-1)BP...P^-1B(PP^-1)BP
= P^-1 B^k P.
所以 A^k 与 B^k 相似.
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