Question

请概率方面的达人多多指点，谢谢！ 利用概率论的思想方法证明如下不等式，其中a大于零.

Answer 1

为方便,首先只讨论积分:在区间[-a,a]积分e^((-x^2)/2)dx 记其值为V.

为以下讨论方便,正方形区域: -a<=x<=a,  -a<=y <=a  记为D,  

其外接圆区域: x^2 +y^2 <=2a^2 记为G.

则V^2 = {在区间[-a,a]积分e^((-x^2)/2)dx }^2

         ={在区间[-a,a]积分e^((-x^2)/2)dx }*{在区间[-a,a]积分e^((-y^2)/2)dy} 

        =在D上,e^[- (x^2+y^2)/2]dxdy  二重积分 

    =在G上,e^[- (x^2+y^2)/2]dxdy  二重积分 

     <在G上,e^[- (r^2)/2]rdsdr  极坐标系下的二重积分  (s 表示极角,r表示极径)

        =在区间[0,  2pi]积分{在区间[0,  a*根号2]积分e^[- (r^2)/2]rdr  }

       = 2pi*{在区间[0,  a*根号2]积分e^[- (r^2)/2]rdr  

        = 2pi*{函数- e^[(-r^2)/2]  在r= a*根号2处的值 - 在r=0处的值}

       =2pi*{- e^(-a^2)+1}=

        =2pi*{1- e^(-a^2)}

即V^2< 2pi*{1- e^(-a^2)}

由于V>0, 

故得:V<根号{ 2pi*{1- e^(-a^2)} }

从而,原式左端= (1/(根号(2pi))*V <(1/(根号(2pi))*根号{ 2pi*{1- e^(-a^2)} }=根号{1- e^(-a^2)} }

即:原式左端 <根号{1- e^(-a^2)} }

命题得到证明.