Question

已知数列{an}的前n项和为sn，且sn=2an-2(n=1,2,3......);数列{bn}中，b1=1,点p(bn,bn+1)在直线x-Y+2=0上。

（1）求a1和b2
(2）求证数列{an}为等比数列
（3）记Tn=a1b1+a2b2+.......+anbn,求满足sn<167的最大正整数n

Answer 1

已知数列{a‹n›}的前n项和为s‹n›，且sn=2a‹n›-2(n=1,2,3......);数列{b‹n›}中，b₁=1,
点p(b‹n›，b‹n+1›)在直线x-Y+2=0上。 (1）求a₁和b₂；(2)求证数列{a‹n›}为等比数列；
(3)记T‹n›=a₁b₁+a₂b₂+.......+a‹n›b‹n›，求满足s‹n›<167的最大正整数n
解：（1）a₁=S₁=2a₁-2，故a₁=2；由于点(b₁，b₂)在直线x-y+2=0上，故有b₁-b₂+2=0
∴b₂=b₁+2=1+2=3；
(2) a‹n+1›=S‹n+1›-S‹n›=(2a‹n+1›-2)-(2a‹n›-2)=2(a‹n+1›-a‹n›)
故a‹n+1›=2a‹n›，即a‹n+1›/a‹n›=2，故{a‹n›}是一个首项a₁=2，且公比q=2的等比数列。
(3) a‹n›=2×2ⁿֿ¹=2ⁿ；b‹n+1›=b‹n›+2，即b‹n+1›-b‹n›=2，故{b‹n›}是一个首项b₁=1，公差d=2
的等差数列，∴b‹n›=1+2(n-1)=2n-1；于是：
T‹n›=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+a₄b₄+.......+a‹n›b‹n›
=2×1+4×3+8×5+16×7+32×9+......+2ⁿֿ¹×(2n-3)+2ⁿ×(2n-1)..................(1)
将上式两边同乘以2，得：
2T‹n›=4×1+8×3+16×5+32×7+.....+2ⁿ×(2n-3)+[2^(n+1)]×(2n-1).............(2)
(1)-(2)得(错项相减)：
-T‹n›=2×1+4×2+8×2+16×2+32×2+.....+2ⁿ×2-[2^(n+1)]×(2n-1)
=2+4(1×2+2×2+4×2+8×2+....+2ⁿֿ²×2)-[2^(n+1)]×(2n-1)
=2+4(1+2+2²+2³+2⁴+......+2ⁿֿ¹-1)-[2^(n+1)]×(2n-1)=-2+4(2ⁿ-1)-[2^(n+1)]×(2n-1)
=2^(n+2)-6-[2^(n+1)]×(2n-1)
故T‹n›=[2^(n+1)]×(2n-1)-2^(n+2)+6=(2n-3)2^(n+1)+6<167
由此得最大的n=4，∵T₄=(8-3)×2^5+6=5×32+6=166<167.

Answer 2

（1）a1=2，b2=3
（2）an＋1=（sn＋1）－sn
=2（an＋1）－2an
（an＋1）/an=2
（3）an=2∧n，bn=2n－1
n=4