Question

求解定积分的问题

Answer 1

• 例如：抛物线y^2=0.2x在点A(0.2,0.2)处法线围成区域面积的计算

• 主要内容：

本文通过定积分知识，介绍抛物线y^2=0.2x在点A(0.2,0.2)处法线围成区域面积的计算步骤。

                                   

• 主要步骤：

∵y^2=0.2x，求导有

∴2ydy/dx=0.2，即dy/dx=0.2/2y,

在点A(0.2,0.2)处，有该点的切线的斜率k为：

k=dy/dx=0.2/(2*0.2)=1/2,

则该点处法线的斜率k1=-2,

此时法线的方程为:

y-0.2=-2 (x-0.2)，

化简得y1=-2x+0.6,则x=(0.6-y)/ 2。

由法线和抛物线构成的方程组，求出二者的交点B,C.

y^2=0.2 (0.6-y)/ 2，即：

2y^2+0.2y-0.12=0，因式分解为：

(y-0.2)(y+0.3)=0.

所以y1=0.2，y2=-0.3.

                                   

此时抛物线方程变形为x=1y^2/0.2,所围成的区域以dy为计算单位，则所求的面积S为：

S=∫[y2:y1][( 0.6-y)/ 2-y^2/0.2]dy

=∫[y2:y1]( 0.6/2-y/2-y^2/0.2)dy，积分有：

=(0.6y/2-y^2/2*2-y^3/0.6) [y2:y1]

=0.6/2*(0.2+0.3)- (0.2^2- 0.3^2)/4-1/0.6*(0.2^3+ 0.3^3)

=0.66+0.012-0.0583

=0.613.

                                   

Answer 2

顺着X轴方向看,每个dx长度上的 图形都是圆环
每个圆环的体积为[PAI*(1+根号（2x))^2-PAI*(1-根号（2x))^2]*dx
然后对X轴积分,积分区域为0到0.5
绕哪个轴就顺着哪个轴看,并在此轴上取微小量.比如两个垂直于x轴的平面截一个球,可以得一个圆台,但是当截面间的间距无限小的时候,圆台就可以看做是圆柱了,用微小量,dx表示圆柱的高,而底圆的半径是可以通过函数来表示的,这样就求除了圆柱的体积,然后再在左边加上积分符号,积分限,就是定积分了