Question

用反演规则求下列函数的反函数。

Answer 1

(1) 设 F=(A+C)(B+C)，则有：
F = AB + AC + BC + C^2
移项得：
AB + AC + BC = F - C^2
再利用二次项公式将右边的 C^2 表示成 (A+C)(B+C) 的形式：
C^2 = (A+C)(B+C) - AB - AC - BC
代入原式得：
F = AB + AC + BC + (A+C)(B+C) - AB - AC - BC
化简得：
F = (A+C)(B+C)
将 F 换成 x，解出 C：
C = (x - AB) / (A+B)
然后将 C 代入原式，解出 B：
x = (A+C) (B+C)
x = (A + (x - AB) / (A+B)) (B + (x - AB) / (A+B))
移项并化简得：
x^2 - Ax - AB - B^2 = 0
这是一个关于 B 的一元二次方程，利用求根公式求解，得到：
B = (A ± sqrt(A^2 + 4AB + 4x^2 - 4Ax)) / 2
因为 B 和 C 的顺序是可以交换的，所以可以将上述过程再执行一遍，求出 C，从而得到完整的反函数。
(2) 设 F = AB + BC + C(A+D)，则有：
F = AB + C(A+D) + BC
移项得：
F - C(A+D) = AB + BC
将 F 换成 x，解出 C：
C = (x - AB) / (A+D+B)
然后将 C 代入原式，解出 B：
x = AB + BC + C(A+D)
x = AB + B(x - AB) / (A+D+B) + C(A+D)
移项并化简得：
x^2 - (A+D)x - AB - CD = 0
这是一个关于 B 的一元二次方程，利用求根公式求解，得到：
B = ((A+D) ± sqrt((A+D)^2 + 4AB + 4CD - 4(A+D)x)) / 2
同样地，将上述过程再执行一遍，求出 C，从而得到完整的反函数。